无界数列一定发散，这点是非常肯定的。即数列既没有上界，也没有下界，称为无界数列；数列有上界，但没有下界，也称为无界数列；数列有上界，但没有下界，依然是无界数列。同样的，教材一般也是通过给出收敛数列的定义，然后用否定定义的方法来说明数列发散的。设{an}是无界数列，求证{an}发散。因此并没有矛盾。也就是说，教材上通过证明收敛数列有界，来反证无界数列发散。
无界数列一定发散，这点是非常肯定的。不过未必每个学过数列的敛散性的朋友，都知道其中的道理：为什么无界数列就一定发散。
无界数列指的是没有上界或没有下界的数列。即数列既没有上界，也没有下界，称为无界数列；数列有上界，但没有下界，也称为无界数列；数列有上界，但没有下界，依然是无界数列。反过来说，有界数列必须同时具有上界和下界。
用数学的语言描述就是：设{an}为数列，若对一切正数M和正整数N，总存在正整数n0>N，使得a_n0>M，则数列无上界；使得a_n0<-M，则数列无下界；使得|a_n0|>M，则数列既无上界也无下界。教材上一般给出有界的定义，然后用否定定义的方法来说明数列无界的。
再来看看发散数列的定义。当数列不收敛时，就发散。同样的，教材一般也是通过给出收敛数列的定义，然后用否定定义的方法来说明数列发散的。如果要给出发散数列的定义，那就是：
设{an}为数列，对任意的数a，总存在正数ε0，对任意正整数N，总有n0>N，使得|a_n0-a|>=ε0，则数列{an}没有极限，这时就称{an}为发散数列。
设{an}是无界数列，求证{an}发散。
证明：不妨设{an}无上界，则一切正数M和正整数N，总存在正整数n0>N，使得a_n0>M，
对任意的数a和某正数ε0，要使|a_n0-a|>=ε0, 由|a_n0-a|>=a_n0-|a|，可以使a_n0>=ε0 |a|，
只要使ε0=M-|a|，就有|a_n0-a|>=ε0，即{an}发散。
你觉得上面这个证明过程怎么样呢？它其实是有瑕疵的。因为ε0是正数，因此必须保证M-|a|>0. 而M是任意正数，也就是说，它可以无限大，是一个无穷大的数。要使M-|a|<0，|a|就要比无限大还大，它自然也是一个无穷大的数。当{an}收敛于无穷大时，它也是发散数列的一种。因此并没有矛盾。
类似的，也可以证明{an}无下界时的情况。综合起来，就是{an}无界的三种情况下，都发散。教材上一般是用反证法来证明的。也就是说，教材上通过证明收敛数列有界，来反证无界数列发散。但我们自己证明一下，对掌握这方面的知识，非常有帮助。
归纳起来：无界一定发散，所以无界是发散的充分条件；发散未必无界，所以发散不是无界的条件；收敛一定有界，所以有界是收敛的必要条件；有界未必收敛，收敛不是有界的条件。
