今天的开篇就是标题你一直幻想的情人就像是有理数，明明知道到处都是，但你往数轴上随便一戳，戳中的概率是0！要说明这个问题，需要一步步来证明：1.有理数的可数性；2.实数的不可数性；3.克服心理障碍去理解概率.▼▼▼▼▼▼▼▼▼01有理数的可数性证明什么是“可数”？
今天的开篇就是标题
你一直幻想的情人就像是有理数，明明知道到处都是，但你往数轴上随便一戳，戳中的概率是0！
不管你信也好，不信也罢，这的确是个事实……
要说明这个问题，需要一步步来证明：
1. 有理数的可数性；
2. 实数的不可数性；
3. 克服心理障碍去理解概率.
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01
有理数的可数性证明
什么是“可数”？
如果元素能像整数集那样排成一个序列，就称这个集合为可数的.
有理数也可排成一行，每个元素与整数集的每个元素，
是一对一的，因此有理数集也就是可数的.
整 数： 1 2 3 4 5 ...... n ......
有理数：r1 r2 r3 r4 r5 ...... rn ......
证明：一个有理数，可以表示为q/p形式（p与q都为整数）.
所有有理数（每一个都是q/p），都能布置成在第a列第b行.
比如：2/5 在第二列第5行；1/3 在第一列第3行……
然后，在这个布阵中画一条连续的折线，
沿这条折线走，
再消去所有p和q有公因子的数,
能得到一个序列，这个序列，
使每一个有理数以最简单的方式恰好出现一次——
因为每一个正有理数出现一次，而且只出现一次，
说明全体正有理数是可数的.
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02
实数的不可数证明
由于有理数集是可数的，
因此人们可能猜测任何无限集都是可数的，
但是，实数（有理数和无理数）却是不可数的！
证明简介：康托用反证法，天才地给出了一个证明。
证明的大概意思：如果假设实数集可数，那所有实数集元素，就可以排列成一个无限的十进位小数表.
可以取一个数，其第一个小数位，不同于前述小数表第一个数的小数位第一位；
其第二个小数位，不同于小数表第二个数的小数位第二位；
……
以此类推，小数第n位，不同于小数表第n个数的小数位第n位；
这样得到的数，不同于小数表上的任何一个数，因此假设不成立，所以实数集不可数.
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03
在单位区间（0,1）中，随机选取一个实数，则其为有理数的概率是多大？
构造区间 （0,1） 上的函数:
D(x)=1，x∈有理数；D(x)=0，x∈无理数；
其实这就是狄利克雷(Dirichlet)函数.
即该函数取值为1时的概率.
答案是0.
简单理解：
在实数范围内，取任意一个实数，得到有理数的概率，
根据有理数可数性，假设有理数势为单位1，实数为： ∞，
则：P=1/（ ∞）=0.
这里需要克服心理障碍，
比如在区间（0,1）内，我们明明可以取到有理数0.5、0.3之类的，
为什么概率为 0 呢？
用一句话来表示就是：
一件事情不可能发生，则其发生的概率为0；
如果一件事发生的概率为0，但是却可能发生.
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