大家好，这里是周老师数学课堂，欢迎来到百家号学习！经典培优题若凸边形A1A2A3…A4n2的每个内角都是30°的整数倍，且∠A1=∠A2=∠A3=90°，求n的值。[解答]∵∠A1=∠A2=∠A3=90°,∴这3个角对应的外角和的和是270°.∵任意多边形的外角和为360°，∴这个多边形其它几个外角和为90°.∵该多边形每个内角都是30的倍数，∴它们的每个外角和也是30的倍数。
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经典培优题若凸(4n 2)边形A1A2A3…A4n 2(n为自然数)的每个内角都是30°的整数倍，且∠A1=∠A2=∠A3=90°，求n的值。
[解答]
∵∠A1=∠A2=∠A3=90°,
∴这3个角对应的外角和的和是270°.
∵任意多边形的外角和为360°，
∴这个多边形其它几个外角和为90°.
∵该多边形每个内角都是30的倍数，
∴它们的每个外角和也是30的倍数。
∵90°÷30°=3.
∴4n 2≤3 3
解得n≤1.
又∵4n 2为正整数，
∴n=1.
[解析]
由任意多边形的外角和为360°，可求得其它
个角的外角和为90°，由多边形的每个外角
和也是30的倍数可知另外最多还有3个外角
和，故此4n 2≤6。
[知识点清单]多边形的内角及内角和
内角：多边形相邻两条边所组成的角叫做多边
形的内角，简称多边形的角.
多边形内角和定理：n边形的内角和是
(n一2).180(n≥3,且n为整数）.
多边形内角和的推导
内角和公式推导的基本方法是从n边形的一个
顶点出发引出(n-3)条对角线，将n边形分割为
(n一2)个三角形，这(n-2)个三角形的所有内角
之和正好是n边形的内角和，除此方法之外还
有其他几种方法，但这些方法的基本思路是一
样的，即将多边形转化为三角形，这也是研究
多边形问题常用的方法。
多边形的外角及外角和
外角：多边形一个角的一边与另一边的反向延
长线所组成的角，叫做多边形的外角.
多边形的外角和：一般地，在多边形的每个顶
点处分别取多边形的一个外角，这些外角的和
叫做多边形的外角和，多边形的外角和等于360°.
课后练习已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是( )。
A.正五边形
B.正六边形
C.正七边形
D.正八边形
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