1500年前的数学家如何计算球体积《易·系辞》中说：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”，说明古人结绳和契刻的方式记数和记事西安半坡村出土的陶器上有直线、三角、方、菱形及一些复杂的几何图形，同时期人们创造了画圆和画方的工具规和工具矩，。
《易·系辞》中说：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”，说明古人结绳和契刻的方式记数和记事。西安半坡村出土的陶器上有直线、三角、方、菱形及一些复杂的几何图形，同时期人们创造了画圆和画方的工具规和工具矩，中国的数学可以追溯到5000到6000年前。
半坡陶符光影图
然而，很多人认为中国的古代数学其实不是数学，最多被称为算术或者算学，不同于西方以古希腊为代表的基于逻辑推理下的数学。比如：勾股定理，无论是有记载或者没记载的，虽然中国对其发现早于西方几百年，但长时间的知其然，不知其所以然。我们对其证明要晚于西方数学界，直到现在西方数学也称该定理为“毕达哥拉斯定理”，毕竟人家是有记录的第一个把勾股定理给予证明的！
事实上，中国的数学并不是不堪一击，我们今天讲的球的体积公式，确实是由中国人一板一眼的推出来的！并且推导过程均是胜在取巧，本文将出现的三个关键词：《九章算术》，刘徽，祖暅！让我们一起来领略古代数学的魅力！
一、《九章算术》《九章算术》，作者不详，经西汉的张苍、耿寿昌等人删补而成，在唐宋两代，它是朝廷明令要求的官方数学教科书，也就是说虽然高考不考，但是也算是必修课程。
《九章算术》的“少广”章主要解决两个问题，“开方术”和“开立方术”，该章的第二十四问：“又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几何？”也就是问：“已知体积是1644866437500尺的球，求这个球的直径是多少？”
具体方法在“开立圆术”这样说道：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径。”意思是说：“把体积乘以16，再除以9，然后开立方，就得到球的直径了。”
更直白的说，《九章》认为正方体的体积和它的内切球的体积之比是：16：9。用现代数学的观点来看，显然不精确，但是在当时已经是非常了不得了。那么，这个16:9是如何来的呢？这里要引入古代数学中常见的两个名词：“方”和“圆”，一个正方形和一个圆形。现在我们知道正方形和它的内切圆的面积之比是4：π，由于古代《周髀算经》对圆周率有“径一周三”的记载，故圆周率取3，就得到了“方”和“圆”的面积之比是4:3。
最后，把圆柱体视为“方”，把球体视为“圆”，由于“方”：“圆”=4:3，所以得到这个两个公式：正方体：圆柱=4:3；圆柱：球=4:3。所以正方体：球=16:9。
虽然不是很精确，但也不得不佩服古人的智慧，古人用圆柱作为过渡量，而不是粗暴的将“方”“圆”做比例。
二、刘徽刘徽，魏晋时期伟大数学家。著有《九章算术注》和《海岛算经》。
就在他为《九章》做注的时候，发现上述推理过程中的错误，即“圆柱：球=4:3”是错误的。我们可以把原公式中的3还原成π，那么得到“圆柱：球=4:π”。现在不妨用现在数学知识进行推导，设球半径是r，圆柱的高是2r，则圆柱体积=2πr³，而球体积=4/3πr³，二者之比=3:2。确实是问题比较大。
发现问题，就要解决问题。如何能正确得到球的体积公式呢？正所谓“从哪里跌倒，就从哪里爬起来”，我们的刘徽还是从正方体出发。他构思了一个看似奇葩，却有确实有效的物体，它叫做“牟合方盖”。
这里的“牟”意思是相同。“盖”意思是伞。“牟合方盖”就是指两个面合在一起的两个相同的方伞。它是由一个正方体出发，先用竖直方向的内切圆柱截正方体，得到一个圆柱体，再用水平方向的圆柱再截一次，两个圆柱的共同部分所形成的几何体，就叫做“牟合方盖”。
看似容易的一个方盖，这一创举足以让刘徽名垂青史，虽然刘徽的贡献还有很多，比如我们都知道圆周率和祖冲之，但殊不知祖冲之计算圆周率的理论支撑是“割圆术”，而“割圆术”的发明者正是刘徽，并且刘徽将圆周率计算到3.14，只不过祖冲之的圆周率更精确罢了。牛顿说：“我之所以比别人看得远一些，是因为我站在巨人的肩膀上”，此时祖冲之有话说：“巨人肩膀，我们都值得拥有！”
“牟合方盖”恰好把正方体的内切求包含在内，并且二者是相切的关系。如果用一个水平面去截方盖，会得到一个正方形和一个内切圆，二者的面积比例是4：π。从而得到“方盖”和“球”的体积之比是4：π。现在所有的工作重心落在了如何求出“牟合方盖”的体积，一旦求出该体积，球的体积瞬间即可攻破！
此时，剧情出现了转折，刘徽说：“敢不阙言，以侯能言者。”翻译过来就是：“我弄不了了，谁行谁上吧！”显然，就当时的社会情况，你刘徽大神都搞不定，谁能接住这个活啊？至此，球的体积告一段落。让我们一起等待另一个巨匠的出现！
三、祖暅祖暅[gèng]，南北朝时期，祖冲之之子。不得不佩服祖氏一家这优秀的基因，打虎亲兄弟，上阵父子兵，爷俩互相学习，共同发展，也是当今社会亲子关系的典范！
祖暅认为，要想成就一番事业，巨人的肩膀还是要踩的，自己的爸比用了刘徽的“割圆术”，成功的精确的计算了圆周率，荣登数学大神之列，而他将用刘徽大神的“牟合方盖”，继续为祖氏家族添光加彩。
小祖同学知道球的体积就是卡在如何求出“牟合方盖”体积，而他选择攻破的恰恰就是这个方盖的体积。显然硬算肯定是不灵的，必须要取巧。
也许在某一年的某一天，祖暅在家里闲着无事，看着一些铜钱发呆。他发现：这两摞铜钱，每摞十个，无论怎么样摆放，这两摞铜钱的体积一定是相等的。这么弱智的结论激起了祖暅的好奇心，为什么会这样呢？
原因是它们在任意截面处有相同的面积，所以它们的体积是相等的。在此基础上，诞生了著名的“祖暅原理”：幂势既同，则积不容。就是说：如果两个几何体在任意截面处的面积都相等，那么这两个几何体的体积是相等的！要知道在西方，需要等到一千年后，由意大利数学家卡瓦列利才提出这一原理。
有了这个原理，就不需要硬求“牟合方盖”的体积了，只需要找到一个和“牟合方盖”体积相同的几何体，这个几何体需要满足两个条件：①简单易求，②与方盖满足“幂势既同，则积不容”。
又到了脑洞大开的时间，这个几何体终于被小祖同学找到了。
首先，小祖把“牟合方盖”进行8等分我们把它称之为8个“小方盖”，切割方法是：俯视方盖，横竖两刀，正视方盖，横着来一刀。（如果想象不出来，不妨做一道小学奥数题：如何用三刀把一块蛋糕分成八块？）这个时候只一个小方盖，整个方盖就搞定了。
牟合方盖被8等分
牟合方盖被8等分后，其中的一块
接下来，小祖发现，找到这样的一个几何体还是很困难的，再次“取巧”，动用“割补法”当我们求不出目标几何体的体积，试图把它不成一个规则的几何体，再减去剩余部分就行了。接下来我们详细展示一下小祖是如何运用“祖暅原理”求出“小方盖”的体积的。我们会用到大量的现代数学符号，而当时小祖同学却没有这些便利的工具，所以说小祖同学的智力确实是卓越非凡的！
设球的体积是r，将“小方盖”放在棱长为r的正方体中，定义：把正方体中除去小方盖部分称为“小方盖剩余”，找到与其“幂势既同”的几何体。先计算图二的阴影，在用正方形的面积减图二阴影，得到图一的阴影面积。再构建一个倒放的四棱锥，使得与“小方盖剩余”符合“祖暅原理”。
具体过程：
这样来看图三的四棱锥的体积与小方盖剩余的体积必然相等。则：
再根据刘徽的体积比例：“方盖”和“球”的体积之比是4：π，此时可得到球的体积是4/3πr³，这就是世界公认的球体积公式。球的体积公式是由中国人独立研发，先后经历三个版本，经过千年测试均可完美运行。更重要的，其推理方法，附属定理，让解决其他数学问题变得有章可循！
经过几代人的努力，终于使中国数学在世界范围内留下了光辉灿烂的一笔！确实，中国古代数学不同于古希腊数学，是完全的另一套体系，我们的内容多来自生产与实践，算法程序化和机械化，注重应用。在算法上，我们说第二，就无人敢说第一！比如，十进位制、今有术、盈不足术等等算法，曾经传到印度和阿拉伯，再由这些国家传到欧洲乃至全世界，对世界数学的发展起到非常大的促进作用！
