本文将由皮亚诺公理出发，详细介绍有关自然数的算数属性以及基本性质，并证明推论11=2。相等的概念在皮亚诺公理中有很重要的作用。自然数自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。需要注意的是，自然数集中的元素以及元素符号并不是由皮亚诺公理定义的，而是由国际标准化组织定义的。但是，仅仅只有一堆符号的集合是没有办法刻画元素之间的性质的，这就是皮亚诺公理的重要性所在。
本文将由皮亚诺公理出发，详细介绍有关自然数的算数属性以及基本性质，并证明推论 11 = 2。本文不涉及任何高深的数学知识，适合任何学历读者。
11 = 2
引言在上一篇文章中，我们详细介绍了一些基本数学术语的概念以及区别。对于大多数学生来说，自然数集是学习数学时最早接触的范畴，它也是最基础的数学知识之一。构建自然数以及定义其算数属性的是皮亚诺公理，这意味着诸如 11 = 2 这类算式是可以被证明的。接下来将介绍几个重要的数学概念，并引出皮亚诺公理。
自然数
等价关系在一个集合 S 中，一个二元关系 ～ 被称为等价关系，当且仅当其具有自反性，对称性以及传递性。换而言之，～ 是等价关系当且仅当对于任意 a, b, c 属于 S：
a ~ a (自反性)
a ~ b 当且仅当 b ~ a (对称性)
若 a ~ b 且 b ~ c，则 a ~ c (传递性)
等价
相等在数学上，如果两个量具有相同的值，或者更一般来说，两个数学表达式表示相同的数学对象，那么这两个量或数学表达式之间的关系被称为相等。A 和 B 相等可以表示成 A = B，其中符号 “=” 被叫做等号。
根据《几何原本》中的第一条公理：
公理 1：等同于相同事物的事物会互相等同。
不难验证，相等是一种等价关系。相等的概念在皮亚诺公理中有很重要的作用。
自然数自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。根据国际标准化组织制定的标准 ISO 80000-2，自然数集即非负整数集（正整数和 0 的集合），用 N 表示：
N = { 0, 1, 2, 3, … }
国际标准化组织定义的自然数集
皮亚诺公理（Peano axioms）皮亚诺公理定义自然数的算数属性。这一套公理涉及一个常数符号 0 以及一个一元函数 S。需要注意的是，自然数集中的元素以及元素符号并不是由皮亚诺公理定义的，而是由国际标准化组织定义的。若改写自然数集中的某些常数符号（比如将所有的 1 替换成别的符号）会违背国际标准化组织定制的标准，但不会对皮亚诺公理定义的算数属性造成影响。但是，仅仅只有一堆符号的集合是没有办法刻画元素之间的性质的，这就是皮亚诺公理的重要性所在。
首先考虑，自然数集可不可以是空集？显然这是不合理的。因此便有了第一条公理：
公理一：0 是自然数
公理一说明自然数集非空，并且有元素 0 。但是只有一个元素 0 是无法构成自然数集的，我们还需要说明每一个自然数后面必然有另一个自然数。我们借助一个一元函数 S 来描述第二条公理：
公理二：对任意自然数 n，S(n) 是自然数
我们把一元函数 S 称为后继函数，自然数 S(n) 叫做自然数 n 的后继数。函数 S 其实描绘的是自然数集中每个自然数和它的后继数之间的对应关系。公理二说明自然数对于 S 是封闭的，并且根据映射的规则，每一个自然数 n 对应唯一一个后继数 S(n)。那么从 0 开始，S(0) 是 0 的后继数，而 S(0) 作为自然数也有它的后继数 S(S(0))，这样一直重复下去。因此，我们用一个直观的图来刻画自然数结构如下：
理想中的自然数的结构
其中我们定义箭头由自然数 n 指向它的后继数 S(n)。
那么问题出现了，要是 0 的后继数 S(0) = 0 怎么办？这种情况下自然数集就只由 0 组成，并且箭头永远是 0 指向 0，如下图所示
只满足公理一、二的反例
除此之外，0 是否可以是某一个自然数的后继数？这种情况下自然数就不是从 0 开始，如下图所示
只满足公理一、二的反例
对于这两种情况，我们可以归结为，是否存在一个自然数 n，使得它的后继数 S(n) 等于 0 ？这显然是不合理的。因此第三条公理如下陈述：
公理三：不存在自然数 n，使得 S(n) = 0
公理三说明， 0 不是任何自然数的后继数。既然 S(0) 不等于 0，根据国际标准化组织定制的标准，我们把 S(0) 记作 1，1 是 0 的后继数。那我们继续思考，S(1) 等于多少？S(1) 可以等于 0 吗？公理三告诉我们 S(1) 不等于 0；那 S(1) 可以等于 1 吗？目前没有办法否定这种情况，但是情况下，自然数就可以是一个只包含 0 和 1 两个元素的集合，并且 S(0) = 1, S(1) = 1，如下图所示：
只满足前三条公理的反例
除此之外，1 是否可以是多个自然数的后继数？如下图所示：
只满足前三条公理的反例
这两种情况有一个共性，就是有多个自然数对应同一个后继数，这破坏了映射中单射的条件，因此我们只需要对映射 S 加上单射的条件即可，第四条公理如下陈述：
公理四：对于任意自然数 m, n，S(m) = S(n) 当且仅当 m = n
根据公理四来看，S(1) 绝不可能是 1，否则 S(0) = S(1) = 1，违背了公理四。根据国际标准化组织定制的标准，我们把 S(1) 记为 2，2 是 1 的后继数。那么同样，S(2) 不可能是 0 或 1 或 2，我们同样可以用 3 来表示 S(2)，这个过程可以无限进行下去，这是因为每一次标记的后继数不可能是 0 或者是之前标记的任何一个数，否则会违背公理四，所以只可能是一个新的数。
由这四条公理所确定的自然数集仍然存在漏洞，比如下面这种情况：
只满足前四条公理的反例子
在这种情况中，0，1，2，… 依旧属于自然数，不过它多了另一条以 n0 为首的长链，而这两条链不存在公共元素。不难验证，这种结构符合公理一至公理四，但显然不是我们想定义的自然数集的结构。为了排除这种情况，我们只需要从 0 开始不断取后继数，最后可以遍历自然数集即可。公理五如下陈述：
公理五（归纳公理）：若集合 K 是自然数集 N 的一个子集，满足：
1. 0 属于 K
2. 对于任意 n 属于 K，有 S(n) 属于 K
那么集合 K 等于自然数集 N.
归纳公理常常有另一种表述：
公理五（归纳公理）：若 f 是一个单参判断式，满足：
1. f(0) 为真
2. 对于任意自然数 n，若 f(n) 为真那么 f(S(n)) 为真
那么对于任意自然数 n，f(n) 为真.
归纳公理确保了数学归纳法的正确性。这五条公理很严谨地定义了自然数的算数属性。
自然数的加法和乘法运算加法和乘法都是二元运算，换言之，是将两个自然数映射到另一个自然数的函数。
其中，加法的递归定义为：
对于任意 a, b 属于 N，
0a = a,
S(a)b = S(ab)
类似的，乘法的递归定义为：
对于任意 a, b 属于 N，
a x 0 = 0,
a x S(b) = aba
11 = 2 的证明加法和乘法的性质下面列举一些常见的自然数加法和乘法的性质，并附上证明。
引理：对于任意自然数 n，S(n) = n1
引理：对于任意自然数 n，n0 = n
加法结合律：对于任意自然数 a, b, c，
( ab )c = a( bc )
加法交换律：对于任意自然数 m, n，
mn = nm
引理：对于任意自然数 n，0 x n = 0
引理：对于任意自然数 m, n，S(m) n = mnn
乘法分配律：对于任意自然数 a, b, c,
a ( bc ) = abac
乘法结合律：对于任意自然数 a, b, c,
(ab)c = a(bc)
乘法交换律：对于任意自然数 m, n，
mn = nm
至此，本文已经介绍完皮亚诺公理以及自然数的算数属性以及基本性质，并且证明了推论 11 = 2，希望大家对于自然数能有更深刻的理解。
