圆的最值问题归纳（圆的知识应用案例）

建立轴承的几何模型轴承是在两个同心圆组成的圆环中镶嵌入一定数目的滚珠。为叙述方便，我们分别简称轴承外框、内框、滚珠为外圆、内圆、小圆。不难发现，与上述四种位置关系对应的数量关系：1.R=r1＋2r22.θ=360°/n3.sinθ/2=r2/问题来了！结论1若R，r1的取值不能保证n为一个大于等于3的正整数，则就不一定存在符合条件小圆。结论3若内圆的半径r1，小圆半径r2任意给定，不一定存在外圆和一定数目的小圆符合条件。

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轴承是工业设备中的一种常用零配件，滚动轴承是轴承中常见的一种，其几何模型中涉及到圆的有关知识。

轴承是在两个同心圆组成的圆环中镶嵌入一定数目的滚珠。

为叙述方便，我们分别简称轴承外框、内框、滚珠为外圆、内圆、小圆。

为保证轴承有效的滚动，这三种圆应该有如下的位置关系：

1.外圆与小圆始终内切；

2.内圆与小圆始终外切；

3.小圆之间始终外切（理想状态）；

4.内外圆始终同心。

设外圆的半径为R，内圆的半径为r1，小圆的半径为r2，小圆个数为n（正整数），小圆圆心组成的正n边形的中心角为θ（0°<θ<180°）。

不难发现，与上述四种位置关系对应的数量关系：

1.R=r1＋2r2

2.θ=360°/n

3. sinθ/2=r2/(r1 r2)

【问题】若外内圆的半径R，r1任意给定(R>r1)，是否存在一定数目的小圆符合条件?

由前面的关系式：

1。R＝ r1＋2r2

2。sinθ/2＝r2/(r1 r2)

3。n=360°/θ

知道

r2=（R-r1）/2，

0<sinθ/2＝r2/(r1 r2)=（R-r1）/（R＋r1）<1

θ=2arcsin（（R-r1）/（R＋r1））不一定被360°整除，

所以n=360°/θ不一定是整数。

结论1

若R，r1的取值不能保证n为一个大于等于3的正整数，则就不一定存在符合条件小圆。

按以上相同方法讨论，不难得到下列结论

结论2

若外圆的半径R，小圆半径r2任意给定(R>r2)，不一定存在内圆和一定数目的小圆符合条件。

结论3

若内圆的半径r1，小圆半径r2任意给定，不一定存在外圆和一定数目的小圆符合条件。

【问题】若给定外圆的半径R和小圆的数目n，是否存在符合条件的内圆和小圆？

由前面的关系式：

1。R＝ r1＋2r2

2。sinθ/2＝r2/(r1 r2)

3。θ=360°/n

知道

1。θ=360°/n

2。sinθ/2＝sin（180°/n）=r2/(r1 r2)

3。R＝ r1＋2r2

联立解得

r2=Rsin（180°/n）/(1 sin（180°/n）)

r1=R-2Rsin（180°/n）/(1 sin（180°/n）)

=R（1-sin（180°/n））/(1 sin（180°/n）)

结论4

若给定外圆的半径R和小圆的个数n，则一定存在符合条件的内圆和小圆。

按以上相同方法讨论，不难得到下列结论

结论5

若给定内圆的半径r1和小圆的个数n，则一定存在符合条件的外圆和小圆。

结论6

如果给定小圆的半径r2和小圆的个数n，则一定存在符合条件的外圆和内圆。